Manhattan life

The square root of 3 is the positive real number that, when multiplied by itself, gives the number 3. It is denoted by

The first sixty significant digits of its decimal expansion are:

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 5580... (sequence A002194 in OEIS)

The rounded value of 1.732 is correct to within 0.01% of the actual value.

The square root of 3 is an irrational number. It is also known as Theodorus' constant, named after Theodorus of Cyrene.

Continued fraction

Geometry

The square root of 3 is equal to the length across the flat sides of a regular hexagon with sides of length 1.

If an equilateral triangle (equilateral polygon with three sides) with sides of length 1 is cut into two equal halves, by bisecting an internal angle across to make a right angle with one side, the right angle triangle's hypotenuse is length one and the sides are of length 1/2 and From this the trigonometric function tangent of 60 degrees equals

It is the distance between opposite flat sides of a regular hexagon with sides of length 1.

It is the length of the diagonal of a unit cube.

The shape Vesica piscis has a major axis: minor axis ratio equal to the square root of three, this can be shown by constructing two equilateral triangles within it.

The square root of 2, also known as Pythagoras' constant, often denoted by

or √2

but can also be written as

2^{1 / 2},

is the positive real number that, when multiplied by itself, gives the number 2. Its numerical value approximated to 65 decimal places (sequence A002193 in OEIS) is:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799.

The square root of 2 was probably the first known irrational number. Geometrically, it is the length of a diagonal across a square with sides of one unit of length; this follows from the Pythagorean theorem. On basic calculators with no square root function, the quick approximation for the square root of two is better than the quick approximation for pi, probably the most widely known irrational number.

The silver ratio is

おそらく最初に知られた無理数であり、幾何学的には辺の長さが1の正方形の対角線の長さである。代数方程式 （例: x² − 2 = 0） の解の一つであり、代数的数である。平方根機能のない安い電卓においては、速算の近似値として99/70 (= 1.41428571…) を使うことがある。これは円周率の速算近似値22/7 (= 3.1428571…) より近い。語呂合わせでは「一夜一夜に人見頃（ひとよひとよにひとみごろ）」などがある。 また、連分数で表記すると

歴史

バビロニアの石板 YBC 7289 (紀元前2000 - 1650年ごろ）に、2の平方根の近似が六十進法で四桁の精度で与えられている。

これは十進法では六桁の近似精度である。古い時代のうちで精度の高い近似としてほかに、古代インドの 数学者によるものが知られており、スルバ・スートラ（紀元前800 - 200年ごろ）では、ニの平方根が「基準の長さからその三分の一だけ増やし、さらにこの三分の一のそのまた四分の一から、この四分の一の34分の一だけ取 り去ったものを加える」として与えられている。これはつまり、

をあたえていることになる。

無理数はピタゴラス学派のメタポンタムのヒッパサスによって発見されたとされている。通説では、ヒッパサスが無理数を発見したのは2の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は2の平方根の無理性の（おそらく幾何学的な）証明をあたえたといわれている。ところがピタゴラスは（有理）数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパサスを溺死の刑に処したとされている。

The numerical value for logarithm to the base 10 can be calculated with the following identity.